Produit carré parfait - Corrigé

Énoncé

Soit \(m\) et \(n\) deux entiers premiers entre eux tels que leur produit \(mn\) est un carré parfait. Montrer que \(m\) et \(n\) sont deux carrés parfaits.

Solution

Par hypothèse, il existe un entier \(a \in \mathbb{Z}\) tel que \(mn=a^2\) . 
Notons \(a=\pm p_1p_2...p_k\) la décomposition de \(a\) en produit de facteurs premiers.
On a alors :  \(mn=(p_1)^2(p_2)^2...(p_k)^2\) .
Ainsi, pour tout \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) , \(p_i\) divise \(mn\) .

Or \(m\) et \(n\) sont premiers entre eux, donc \(p_i\) divise soit \(m\) , soit \(n\) (sinon \(m\) et \(n\) ne seraient pas premiers entre eux, car divisibles par \(p_i>1\) ).

Dans l'écriture \(mn=(p_1)^2(p_2)^2...(p_k)^2\) , on peut donc séparer le membre de droite en produit de carrés de facteurs premiers divisant \(m\) d'une part, divisant \(n\) d'autre part.

Par unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers, \(m\) et \(n\) s'écrivent donc comme produits de carrés de facteurs premiers, donc \(m\) et \(n\) sont des carrés parfaits.